Tipos de conjuntos

El mundo de las matemáticas es amplio y complejo, por lo tanto, conocer lo básico es algo esencial, los conjuntos, son una parte básica en las matemáticas, tanto así que, para entender las matemáticas es necesario entender que es un conjunto, y cuáles son los tipos de conjuntos que existen.

¿Qué es un conjunto?

El concepto de conjunto no es nada complicado, incluso, las personas desde muy pequeñas, de forma involuntaria, comenzaban a construir sus propios conjuntos sin saber lo eran.

Si en algún momento de sus vidas tenían una colección de muñecos, de cartas, de fichas o de rocas quizás, entonces ustedes poseían un conjunto sin saberlo, porque se puede decir que los conjuntos no son otra cosa más que una colección de objetos.

Claro que, esta colección de objetos se puede considerar un conjunto, siempre y cuando se puedan clasificar por las características que tengan en común.

Además, existen un requisito que se debe cumplir para que un grupo de objetos se considere un conjunto, este requisito es que se pueda determinar si un objeto pertenece o no al conjunto.

Un claro ejemplo de este requisito es un grupo de cosas bonitas, porque la belleza es completamente subjetiva, es decir, lo que para unas personas es bonito, para otras no, por lo tanto, un grupo de cosas bonitas no puede ser considerada como un conjunto.

Es importante mencionar que todo objeto que forma parte de un conjunto se le conoce como elemento, esta es forma de identificar rápidamente todo lo que forma parte de un conjunto especifico, porque ya no serían conocidos como objetos, sino como los elementos de un conjunto.

¿Para qué sirve un conjunto?

Los conjuntos suelen ser utilizados para identificar con mayor facilidad cuales son los componentes de un grupo determinado de objetos. Es decir, al tener una cantidad importante de objetos, estos se pueden dividir en conjuntos, de esta forma se identificaran a que grupo pertenece cada uno de esos objetos.

Los conjuntos son usados para que las personas puedan identificar los tipos de números, como por ejemplo: a separar los números enteros de los números reales, o los números primos de los no primos.

La forma para describir los conjuntos es enumerando sus elementos, o bien pueden delimitarse al presentar una definición de los elementos que forman parte del conjunto.

Para escribir un conjunto, se necesita colocar la letra o nombre que representa al conjunto y luego igualarlo a los elementos que pertenecen al conjunto, estos elementos deben ser escritos entre corchetes.

Por ejemplo: Si tenemos un conjunto F, y dentro de este conjunto se encuentran los elementos 1, z, 3 y p. El conjunto queda como se muestra en la siguiente imagen:

Otro ejemplo puede ser un grupo de números como: 2, 4, 6, 8. Este conjunto puede ser llamado A. Teniendo esto en cuenta, el conjunto quedaría de la siguiente forma: A= {números enteros pares menores a 10}.

Forma para representar un conjunto

La forma más común para representar los conjuntos es usando los diagramas de Venn, a través de estos diagramas se busca representar los conjuntos a través del uso de círculos, y dentro de cada uno de esos círculos se escriben o dibujan los elementos que forman parte de este conjunto.

Para que se pueda entender mejor los diagramas de Venn, se les presentara un ejemplo.

Si tenemos dos conjuntos, uno llamado M y otro llamado P, los elementos de M son los siguientes: m, n, p y t. mientras que los elementos de P son: n, p, q y s. En este ejemplo en particular, puede observar que n y p son elementos que se repiten en ambos conjuntos.

Teniendo el ejemplo anterior en cuenta, el diagrama de Venn de estos conjuntos queda como se muestra en la siguiente imagen:

Como podrá notar, para mostrar los elementos que tienen en común los dos conjuntos, los círculos se unieron, y justo en el espacio donde se encuentra esa unión, es donde se colocaron esos elementos, esta es la forma de representar elementos que tienen en común dos o más conjuntos.

¿Cuáles son los tipos de conjuntos?

Los conjuntos se pueden clasificar en los siguientes tipos:

• Conjuntos iguales. Este tipo de conjuntos se refiere a cuando dos conjuntos poseen exactamente los mismos elementos.

Por ejemplo: si A= {2, 5, 8, 9, 6}, B= {6, 8, 9, 2, 5} y C= {8, 9, 5, 2, 6}

Entonces se dice que A = B = C, el orden en el que se encuentran los elementos no importa para nada.

• Conjuntos finitos e infinitos. Los conjuntos finitos son aquellos donde sus elementos pueden ser contados, mientras que los conjuntos infinitos son aquellos que si bien no pueden ser contados deben estar bien definidos para poder ser considerados como infinitos.

Un conjunto finito puede ser: A= {Todos los números enteros entre 1000 y 1020}

Un conjunto infinito puede ser: B= {Números enteros mayores que 1000}, este conjunto infinito se representa {1001,1002, 1003,…}

Donde los puntos suspensivos representan todos esos elementos infinitos que no se encuentran enumerados.

• Conjuntos subconjuntos. El subconjunto viene siendo una parte del conjunto, para que esto se pueda cumplir, todos los elementos del subconjunto deben formar parte del conjunto.

Un ejemplo de este tipo de conjuntos son los tipos de camisas, los tipos de camisas son ropa, como los pantalones, por lo tanto, los tipos de camisas son un subconjunto de un conjunto llamado ropa.

Para estos casos se usa el siguiente símbolo ⊂, y quedaría de la siguiente forma {camisas} ⊂ {ropa}.

Si se quiere expresar que un conjunto no es subconjunto de otro se debe usar el siguiente símbolo ⊄.

• Conjunto vacío. Si un conjunto no posee ningún elemento, entonces se debe usar el siguiente símbolo Ø, que quiere decir que el conjunto se encuentra vacío.
• Conjuntos disjuntos o disyuntivos. Se habla de este tipo de conjuntos cuando dos conjuntos no tienen elementos en común.

Por ejemplo: A= {a, b, c, e} y B= {h, i, j, l}, entonces se dice que A y B son disjuntos.

• Conjuntos equivalentes. Se habla de conjuntos equivalentes si dos conjuntos poseen la misma cantidad de elementos, sin importar cuales sean estos elementos.

El símbolo utilizado para denotar este tipo de conjuntos es el siguiente: ↔.

Por ejemplo: A= {1, 2, 3} y B= {a, b, c}, en este caso A ↔ B.

• Conjuntos unitario. Este tipo de conjuntos se caracteriza por tener solo un elemento.
• Conjuntos universal o referencial. Este conjunto se caracteriza por ser una colección de todos los objetos que se encuentran en un contexto en particular.

Todos los demás conjuntos que formen parte del contexto que se está tratando se convierten en subconjuntos del principal.

Este tipo de conjuntos se denota con el siguiente símbolo U.

Este es un conjunto bastante complicado, porque depende de la teoría o del contexto del que se está hablando, por ejemplo, un conjunto U pueden ser todas las cosas vivas en el planeta, en este caso, los peces son un subconjunto de U, las aves son un subconjunto de U, y así todos los demás seres vivos.

• Conjuntos superpuestos o solapados. Este tipo de conjuntos hacen referencia a cuando dos conjuntos tienen al menos un elemento en común.

En la imagen presentada como ejemplo para los diagramas de Venn se puede observar un conjunto superpuesto.

• Conjuntos congruentes. Estos conjuntos son un poco complicado, pero, se trata básicamente de que los elementos de un conjunto tengan la misma relación de distancia que los elementos espejos (que estén en la misma posición) de otro conjunto.

Un ejemplo de este tipo de conjuntos puede ser:

B= {2, 3, 4, 5, 6} y A= {1, 2, 3, 4, 5}, en este caso en particular, la distancia entre cada uno de los elementos espejos es 1 (entre 2 y 1, 3 y 2, 4 y 3, 5 y 5, 6 y 5), teniendo eso en cuenta, se dice que A y B son congruentes.

• Conjuntos no congruentes. Este tipo de conjuntos se trata de cuando no se puede establecer la misma relación de distancia entre los elementos espejo de dos conjuntos.

Como por ejemplo:

B= {5, 8, 200, 750} y A= {2, 6, 150, 300}, la distancia entre 5 y 2, 8 y 6, 200 y 150, 750 y 300 son completamente diferentes, por lo tanto, estos conjuntos son no congruentes.

• Conjuntos homogéneos. Se habla de conjuntos homogéneos cuando todos los elementos que lo conforman pertenecen a una misma categoría, clase o género.

Por ejemplo: A= {a, b, c, d, f, e, t}, como todos los elementos de A son letras, entonces A es un conjunto homogéneo.

• Conjuntos heterogéneos. Se habla de conjuntos heterogéneos cuando los elementos de estos conjuntos no pertenecen a una misma categoría.

A= {casa, perro, 5, pera}, en este caso, los elementos de A no pertenecen a una misma categoría, por lo tanto, se dice que A es un conjunto heterogéneo.

Conocer cada uno de estos tipos de conjuntos le puede ser de mucha ayuda en diversos casos, especialmente si está intentando recordar la matemática básica.